问cos 平方 x 的原函数 不定积分求解详解

cos 平方 x 的原函数是二分之一 x 加上四分之一 sin2x 再加任意常数 C，这个题目是高等数学不定积分的高频基础题型，核心思路是不能直接对二次幂的三角函数套用幂函数积分公式，必须先用余弦二倍角公式做降幂处理，把 cos 平方 x 拆分成常数项和一次余弦项，之后再分项积分，这也是很多初学者最容易踩坑的地方，不少同学会错误写成三分之一 cos 立方 x，本质就是混淆复合函数积分规则，没有掌握降幂这个关键步骤，求出原函数之后还可以反向求导验证，求导之后能够还原回 cos 平方 x，就说明原函数计算正确，这个原函数同时也是后续定积分 华里士公式 三角函数积分综合题的基础内容。

核心前置公式

余弦二倍角公式 cos2x = 2cos 平方 x 减 1

移项整理得到降幂公式 cos 平方 x = 二分之一乘以括号 1 加 cos2x

这个降幂公式是求 cos 平方 x 的原函数的核心依据，把二次三角函数转化成可以直接积分的一次三角函数形式。

完整求解步骤

第一步 将被积函数 cos 平方 x 替换成降幂表达式，积分式改写为积分 二分之一括号 1 加 cos2x dx

第二步 使用积分线性性质，把积分拆成两项，二分之一积分 1 dx 加上二分之一积分 cos2x dx

第三步 计算第一项，积分 1 dx 等于 x，第一项结果就是二分之一 x

第四步 计算第二项，对 cos2x 做凑微分，积分 cos2x dx 等于二分之一 sin2x，乘以前面的系数二分之一，得到四分之一 sin2x

第五步 合并两项结果，不定积分需要加上任意常数 C，最终 cos 平方 x 的原函数为二分之一 x 加四分之一 sin2x 加 C

相关对照表

反向验证方法

对求出的原函数求导，导数等于二分之一加上四分之一乘以 2cos2x，化简之后就是二分之一加二分之一 cos2x，再次套用降幂公式，就变回 cos 平方 x，验证成立，说明这个原函数是正确的。

易错点说明

第一 错误套用幂函数积分，误以为 cos 平方 x 原函数是三分之一 cos 立方 x，这个写法求导之后和原式不相等

第二 凑微分的时候漏掉系数二分之一，把第二项错写成二分之一 sin2x，造成最终系数错误

第三 不定积分忘记添加常数 C，不定积分代表全部原函数族，缺少 C 答题不完整

第四 区分不定积分和定积分，如果是定积分，求出 cos 平方 x 的原函数之后，使用牛顿莱布尼茨公式代入上下限，不再保留常数 C

【常见问题】

问题 1 cos 平方 x 的原函数为什么必须用降幂公式

回答 1 cos 平方 x 的原函数求解必须使用降幂公式，因为被积函数是二次三角函数，降幂之后变成常数加一次 cos2x，才能使用基本积分公式求出原函数。

问题 2 cos 平方 x 的原函数里面常数 C 可以省略吗

回答 2 cos 平方 x 的原函数里面常数 C 不可以省略，不定积分代表全部原函数集合，必须保留任意常数 C。

问题 3 定积分计算 cos 平方 x 的时候还要保留原函数里面的 C 吗

回答 3 定积分计算 cos 平方 x 的时候不需要保留原函数里面的 C，求出原函数之后直接代入上下限做差值运算。

问题 4 cos 平方 x 的原函数可以用分部积分法求出来吗

回答 4 cos 平方 x 的原函数理论上可以用分部积分法求出，但是计算步骤更繁琐，考试优先选择降幂公式的方法。

【免责申明】

本文内容依据高等数学通用教材整理，公式适用于实数域常规积分题型，内容仅用于学习备考参考，特殊反常积分或者复变积分场景请结合专业教材核验。