【基本不等式公式四个】在数学学习中，基本不等式是解决最值、不等式证明等问题的重要工具。它不仅在高中数学中占有重要地位，也在大学数学和实际应用中广泛应用。常见的“基本不等式公式四个”通常指的是以下四种重要的不等式形式，它们分别是：
一、基本不等式的总结
1. 均值不等式（AM ≥ GM）
对于任意非负实数 $ a $ 和 $ b $，有：
$$
\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}
$$
当且仅当 $ a = b $ 时，等号成立。
2. 柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）
对于任意实数 $ a_1, a_2, \dots, a_n $ 和 $ b_1, b_2, \dots, b_n $，有：
$$
(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \dots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n)^2
$$
等号成立当且仅当向量 $ (a_1, a_2, \dots, a_n) $ 与 $ (b_1, b_2, \dots, b_n) $ 成比例。
3. 三角不等式（Triangle Inequality）
对于任意实数 $ a $ 和 $ b $，有：
$$
$$
同样地，也有：
$$
$$
4. 排序不等式（Rearrangement Inequality）
设 $ a_1 \leq a_2 \leq \dots \leq a_n $，$ b_1 \leq b_2 \leq \dots \leq b_n $，则对于任意排列 $ b_{\sigma(1)}, b_{\sigma(2)}, \dots, b_{\sigma(n)} $，有：
$$
a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n \geq a_1b_{\sigma(1)} + a_2b_{\sigma(2)} + \dots + a_nb_{\sigma(n)} \geq a_1b_n + a_2b_{n-1} + \dots + a_nb_1
$$
二、基本不等式对比表格
| 不等式名称 | 公式表达 | 条件说明 | 等号成立条件 | ||||||
| 均值不等式 | $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$ | $a, b \geq 0$ | $a = b$ | ||||||
| 柯西不等式 | $(\sum a_i^2)(\sum b_i^2) \geq (\sum a_ib_i)^2$ | $a_i, b_i \in \mathbb{R}$ | $a_i / b_i = \text{常数}$ | ||||||
| 三角不等式 | $ | a + b | \leq | a | + | b | $ | $a, b \in \mathbb{R}$ | $a$ 与 $b$ 同号 |
| 排序不等式 | $a_1b_1 + \dots + a_nb_n \geq \text{任意排列的乘积和}$ | $a_i, b_i$ 为有序数列 | 两序列同序时取最大 |
三、小结
这四个基本不等式是数学中非常重要的工具，尤其在优化问题、不等式证明以及几何分析中具有广泛的应用。掌握它们的使用方法和适用范围，有助于提高解题效率和逻辑思维能力。建议在学习过程中结合具体例题进行练习，以加深理解。