【高中三角函数公式】在高中数学中，三角函数是重要的基础知识之一，广泛应用于几何、物理和工程等领域。掌握常见的三角函数公式，有助于快速解题和理解相关概念。以下是对高中阶段常见三角函数公式的总结，结合表格形式便于记忆和查阅。
一、基本定义
| 名称 | 定义式 | 说明 |
| 正弦（sin） | $ \sin\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} $ | 直角三角形中，对边与斜边的比值 |
| 余弦（cos） | $ \cos\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} $ | 直角三角形中，邻边与斜边的比值 |
| 正切（tan） | $ \tan\theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} $ | 直角三角形中，对边与邻边的比值 |
| 余切（cot） | $ \cot\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{对边}} $ | 正切的倒数 |
| 正割（sec） | $ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} $ | 余弦的倒数 |
| 余割（csc） | $ \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} $ | 正弦的倒数 |
二、诱导公式
| 角度变换 | 公式 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ |
| $ \tan(-\theta) $ | $ -\tan\theta $ |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \tan(\pi - \theta) $ | $ -\tan\theta $ |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \tan(\pi + \theta) $ | $ \tan\theta $ |
三、同角三角函数关系
| 公式 | 内容 |
| 平方关系 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ |
| 商数关系 | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $ |
| 倒数关系 | $ \sin\theta \cdot \csc\theta = 1 $, $ \cos\theta \cdot \sec\theta = 1 $, $ \tan\theta \cdot \cot\theta = 1 $ |
四、和差角公式
| 公式 | 内容 |
| 正弦和差 | $ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta $ |
| 余弦和差 | $ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta $ |
| 正切和差 | $ \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta} $ |
五、倍角公式
| 公式 | 内容 |
| 正弦倍角 | $ \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta $ |
| 余弦倍角 | $ \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta $ |
| 正切倍角 | $ \tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ |
六、半角公式
| 公式 | 内容 |
| 正弦半角 | $ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ |
| 余弦半角 | $ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ |
| 正切半角 | $ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}} $ |
七、积化和差与和差化积
| 公式 | 内容 |
| 积化和差 | $ \sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)] $ |
| 和差化积 | $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $ |
总结
高中阶段的三角函数公式内容丰富，涵盖了基本定义、诱导公式、同角关系、和差角、倍角、半角以及积化和差等多方面内容。掌握这些公式不仅有助于解题效率的提升，还能加深对三角函数性质的理解。建议结合图形记忆，并通过大量练习加以巩固。