问等比数列公式

【等比数列公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数。这个常数被称为公比（记作 $ q $）。等比数列广泛应用于数学、物理、经济等多个领域，掌握其基本公式对于理解相关问题非常关键。

以下是对等比数列常见公式的总结，结合文字说明和表格形式，便于理解和记忆。

一、等比数列的基本概念

- 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数 $ q $，则称该数列为等比数列。

- 通项公式：第 $ n $ 项为 $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $，其中 $ a_1 $ 是首项，$ q $ 是公比。

- 求和公式：前 $ n $ 项和为 $ S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} $（当 $ q \neq 1 $）。

二、常用公式总结

三、典型应用示例

假设有一个等比数列，首项 $ a_1 = 2 $，公比 $ q = 3 $，求：

- 第 5 项：$ a_5 = 2 \cdot 3^{4} = 2 \cdot 81 = 162 $

- 前 5 项和：$ S_5 = 2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 2 \cdot 121 = 242 $

四、注意事项

- 公比 $ q $ 不能为 0，否则数列将失去意义。

- 若 $ q = 1 $，数列为常数列，所有项都相等。

- 当 $ q < 1 $ 时，无穷等比数列的和是有限的，称为“收敛”；否则为“发散”。

通过以上内容，我们可以系统地了解等比数列的基本公式及其应用方法。掌握这些知识有助于解决实际问题，并为进一步学习数列与级数打下坚实基础。