等比数列通项公式

等比数列是一种在数学中非常常见的数列，其特点在于从第二项开始，每一项与它前一项的比值是一个常数。这个常数被称为公比，通常用字母 \(r\) 表示。如果一个数列的第一项为 \(a_1\)，那么这个数列的第 \(n\) 项 \(a_n\) 可以通过等比数列的通项公式来计算。

等比数列的通项公式

等比数列的通项公式为：

\[a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}\]

其中：

- \(a_n\) 是数列中的第 \(n\) 项，

- \(a_1\) 是数列的第一项，

- \(r\) 是公比，

- \(n\) 是项的位置（\(n\) 为正整数）。

公式的理解

这个公式的核心在于指数部分 \(r^{(n-1)}\)，它表示了从第一项到第 \(n\) 项需要乘以公比的次数。例如，当 \(n=2\) 时，\(a_2 = a_1 \cdot r^{(2-1)} = a_1 \cdot r\)，这正好反映了等比数列的定义：第二项是第一项乘以公比 \(r\)。

应用实例

假设有一个等比数列，其中第一项 \(a_1 = 3\)，公比 \(r = 2\)。我们想找出这个数列的第 5 项 \(a_5\)。

根据通项公式，我们有：

\[a_5 = a_1 \cdot r^{(5-1)} = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48\]

因此，该等比数列的第 5 项是 48。

结论

等比数列的通项公式是理解和计算等比数列中任意项的重要工具。通过这个公式，我们可以轻松地计算出数列中的任何一项，而不需要逐一计算前面所有的项。这不仅简化了计算过程，也加深了对等比数列性质的理解。

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